Utilidad en la vida diaria

1. El disparo de un proyectil militar (carga de artillería, mortero, etc.). Desde el cilindro del cañón hasta el punto de caída u objetivo.

2. El chute de un balón de fútbol. Desde la arquería hasta caer en el campo contario.

3. La trayectoria de una pelota de golf. Durante el tiro inicial de larga distancia.

4. El chorro de agua de una manguera. Como las empleadas por los bomberos para sofocar un incendio.

5. El chorro de agua de los aspersores giratorios. En un jardín o un parque, arrojando el líquido a su alrededor con una velocidad y ángulo uniformes.

6. El lanzamiento de una piedra. Cuando intentamos derribar frutas de un árbol, pero les erramos y caen del otro lado.

7. Un saque de voleibol. Que hace elevarse la pelota por encima de la red y caer con el mismo ángulo de inclinación del otro lado.

8. El lanzamiento de una bomba o misil. Desde un avión en pleno vuelo es un movimiento semiparabólico pues cursa la mitad de una parábola (pero responde a las mismas consideraciones físicas).

9. El lanzamiento de un disco. Como los que se arrojan para practicar el tiro al blanco con un rifle.

10. El rebote de una piedra sobre la superficie del agua. Trazará pequeñas parábolas cada vez más chicas con cada rebote, hasta que pierda el empuje inicial y se hunda.

Ejemplos

 Ejemplos

Ejemplo 1: Minuto 90 de juego... Lopera se acerca al balón para lanzar un libre directo a 40 metros exactos de la portería, da dos pasos hacia atrássss y lanzaaaa. El balón describe una trayectoria parabólica y sale con una elevación de 20º... y ¡¡¡¡¡GOOOOLLL!!!! ¡¡¡¡GOOOOOOOLLL!!!! ¡¡¡¡El balón entra por la escuadra a 1.70 metros de altura!!!. Tras oir esta emisión en la radio, ¿sabrías responder a las siguientes preguntas?

a) Desde que Lopera chuta y marca el gol, ¿Cuánto tiempo ha transcurrido y a qué velocidad salió el balón desde las botas de Lopera?

b) ¿Qué altura máxima alcanzó el balón?

c) ¿Con qué velocidad llegó el balón a la portería?

Solución

a) El instante en el que el balón llega a la portería x=40 m e y=1.7 m. Sustituyendo en las ecuaciones de la posición del movimiento parabólico:

b) Cuando la componente y de la velocidad (vy) sea 0 entonces quiere decir que estaremos en el punto más alto de la parábola. Recuerda que comienza a ascender y su velocidad en el eje y va disminuyendo hasta que se anula y comienza a ser negativa para descender.

Ahora ya estamos en condiciones, aplicando la ecuación de posición en el eje y, y sustituyendo por el instante que hemos obtenido, de determinar la altura máxima alcanzada:

c) Sabiendo que el balón llegó a la portería en 1.61 s, su velocidad se obtiene:

Ejemplo 2: Determina el ángulo respecto a la horizontal con el que hay que lanzar un balón para que entre a la portería rozando el palo superior, situado a una altura de 2.45 m y a 9 m del punto de lanzamiento. El balón es lanzado a una velocidad de 82 km/h. Ten en cuenta que el balón debe encontrarse en el punto más alto de su trayectoria para que entre rozando el palo superior de la portería.

Datos

Valor de la velocidad inicial del movimiento v0 = 82 km/h = 22.78 m/s

Altura de la portería (altura final) y = 2.45 m

Distancia horizontal entre el punto de lanzamiento y la portería (distancia final) x = 9 m

Consideraciones previas

Se trata de un movimiento parabólico. El movimiento parabólico es una composición de dos movimientos:

movimiento rectilíneo uniforme en el eje x

movimiento rectilíneo uniformemente acelerado en el eje y

El vector velocidad inicial se puede escribir como:

v→0=v0x⋅i→+v0y⋅j→=v0⋅cos(α)⋅i→+v0⋅sin(α)⋅j→

α  es justamente el ángulo pedido

El balón entra en la portería en el punto más alto de la trayectoria, es decir, cuando vy = 0

Consideramos el valor de la gravedad g = 9.8 m/s2

Resolución

La ecuación de posición en el movimiento parabólico viene dada por la expresión:

r→(t)=(v0x⋅t)⋅i→+(v0y⋅t−12⋅g⋅t2)⋅j→=(v0⋅cos(α)⋅t)⋅i→+(v0⋅sin(α)⋅t−12⋅g⋅t2)⋅j→

 

El vector velocidad viene dado por la expresión

v→(t)=v0x⋅i→+(v0y−g⋅t)⋅j→=v0⋅cos(α)⋅i→+(v0⋅sin(α)−g⋅t)⋅j→

 

Cuando el balón entra por la portería se cumple que:

r→f=9⋅i→+2.45⋅j→ ; v→f=v0x⋅i→+0⋅j→

Si igualamos las expresiones de la ecuación de posición y de velocidad a los vectores anteriores, podemos utilizar la componente y de la velocidad vy y la componente x del vector de posición rx para determinar el ángulo de lanzamiento:

{0=v0⋅sin(α)−g⋅t9=v0⋅cos(α)⋅t{0=v0⋅sin(α)−g⋅tt=9v0⋅cos(α)⎧⎩⎨0=v0⋅sin(α)−g⋅9v0⋅cos(α)t=9v0⋅cos(α)⇒⇒g⋅9v0⋅cos(α)=v0⋅sin(α)⇒88.2=22.782⋅sin(α)⋅cos(α)

Ahora es necesario que recordemos la siguiente igualdad trigonométrica para poder resolver la ecuación:

sin(α)⋅cos(α)=sin(2α)2

 

A partir de ella resolvemos:

88.2=22.782⋅sin(α)⋅cos(α)⇒0.169=sin(2α)2⇒2α=sin−1(0.339)⇒α=0.17 rad

Ejemplo 3: Un portero saca el balón desde el césped a una velocidad de 26 m/s. Si la pelota sale del suelo con un ángulo de 40° y cae sobre el campo sin que antes lo toque ningún jugador, calcular:

Altura máxima del balón

Distancia desde el portero hasta el punto donde caerá en el campo

Tiempo en que la pelota estará en el aire

SOLUCIÓN:

Resolveremos el problema de dos maneras: aplicando directamente las fórmulas específicas o, en segundo lugar, partiendo de las ecuaciones de los dos movimientos, MRU y MRUA.

En primer lugar, descomponemos la velocidad inicial en sus componentes. La componente horizontal de la velocidad será:

La componente vertical de la velocidad inicial será:

La altura máxima será:

El alcance del saque del portero será:

Calcularemos el tiempo de vuelo de la pelota:

Características y ecuaciones

Características

• Conociendo la velocidad de salida (inicial), el Ángulo de inclinación inicial y la diferencia de alturas (entre salida y llegada) se conocerá toda la trayectoria.
• Los ángulos de salida y llegada son iguales.
• La mayor distancia cubierta (alcance) se logra con ángulos de salida de 45º.
• Para lograr la mayor distancia el factor más importante es la velocidad.
• Se puede analizar el movimiento en vertical independientemente del horizontal.
• Todos los problemas de tiro parabólico tienen un recorrido similar: *Construir las ecuaciones de r (t), v (t), a (t) y ecuación de la trayectoria. *Fijar las condiciones de contorno para obtener nuevas ecuaciones.* Sustituir y operar.

Ecuaciones del Movimiento Parabólico

Las ecuaciones del movimiento parabólico son:

Las ecuaciones del MU para el eje x

                                                          x=x0+vx⋅t

​

Las ecuaciones del MUA para el eje y

                                                        vy=v0y+ay⋅t

                                                  y=y0+v0y⋅t+12⋅ay⋅t2

Dado que, como dijimos anteriormente, la velocidad forma un ángulo α con la horizontal, las componentes x e y se determinan recurriendo a las relaciones trigonométricas más habituales:

Finalmente, teniendo en cuenta lo anterior, que y0 = H , x0 = 0, y que ay = -g , podemos reescribir las fórmulas tal y como quedan recogidas en la siguiente lista. Estas son las expresiones finales para el cálculo de las magnitudes cinemáticas en el movimiento parabólico o tiro oblicuo:

Posición (m)

•    Eje horizontal

x=vx⋅t=v0⋅cos(α)⋅t

• Eje vertical

       y=H+v0y⋅t−12⋅g⋅t2=H+v0⋅sin(α)⋅t−12⋅g⋅t2

Velocidad (m/s)

• Eje horizontal

vx=v0x=v0⋅cos(α)

• Eje vertical

vy=v0y−g⋅t=v0⋅sin(α)−g⋅t

Aceleración (m/s2)

• Eje horizontal

ax=0

• Eje vertical

ay=−g

Definición

          Movimiento parabólico 

Definición

El movimiento parabólico, también conocido como tiro oblicuo, consiste en lanzar un cuerpo con una velocidad que forma un ángulo α con la horizontal. En la siguiente figura puedes ver una representación de la situación.

El movimiento parabólico o tiro oblicuo resulta de la composición de un movimiento rectilíneo uniforme (MU horizontal) y un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado de lanzamiento hacia arriba o hacia abajo (MUA vertical).

El cuerpo en movimiento parabólico puede ser cualquier cosa: una pelota de futbol, de tenis, un dardo, un misil... a todos ellos los denominaremos de manera genérica proyectiles.

En física suele denominarse proyectil a cualquier cuerpo lanzado en el espacio por la acción de una fuerza, aunque en castellano suele utilizarse este término especialmente para aquellos lanzados con un arma.